Extensiones de conjuntos ciclicos lineales, la conjetura del jacobiano, co-algebras de conjuntos ordenados y productos cruzados.

El proyecto construirá herramientas y ejemplos en geometría no conmutativa. Para esto el trabajo del grupo de investigación en los siguientes dos años se centrará en algunos de los siguientes cinco temas: 1. La recientemente descubierta innovadora cohomología de conjuntos cíclicos lineales en [GGV1], permite construir extensiones desde la cohomología. Tomando los ejemplos principales dados por David Bachiller en [B] para clasificar brazas hasta p^3, y generalizandolos, debe ser posible clasificar los conjuntos cíclicos lineales, un avatar de brazas, hasta orden p^4 y tal vez hasta p^5. [B] Bachiller, D., Classification of braces of order p^3, Journal of Pure and Applied Algebra 219 (2015), no. 8, 3568-3603. [GGV1] Guccione, J.A., Guccione, J.J. Valqui, C. Extensions of linear cycle sets and cohomology. European Journal of Mathematics 9, 15 (2023). 2. Se construirán soluciones a la importante ecuación de Yang-Baxter usando coálgebras de conjuntos parcialmente ordenados como en [GGV2], aprovechando que la condición de que el cuadrado de la aplicación sea de tipo conjunto es muy pertinente, pues deja unas condiciones bastante manejables. [GGV2] Jorge Alberto Guccione, Juan José Guccione, and Christian Valqui, Solutions of the braid equation and orders. Algebras and Representation Theory volume 22, pages 665–697 (2019) 3. Se seguirá desarrollando el método geométrico para describir posibles contraejemplos a la conjetura del Jacobiano. La cota para el grado de un posible contraejemplo ya se ha elevado a 108 en [GGHV], y analizando los casos pequeños debe ser posible seguir elevando esta cota con estos métodos innovadores. [GGHV] Jorge Alberto Guccione, Juan José Guccione, Rodrigo Horruitiner and Christian Valqui, Increasing the degree of a possible counterexample to the Jacobian conjecture from 100 to 108 (2022) available at arxiv:2204.14178 4. Se analizarán las propiedades de los planos torcidos nuevos descubiertos y clasificados en [BV]. En particular debe ser posible calcular su homología de Hochschild y también se debe poder establecer la existencia o no de los casos irregulares. [BV] Bances, R., Valqui, C., On the Classification of Graded Twisted Planes. Algebras and Representation Theory (2022) 5. Se calculará la cohomología de productos cruzados de Hopf, ya sean productos tensoriales torcidos, productos débiles de Hopf o productos cruzados de grupos. Las herramientas desarrolladas anteriormente son muy pertinentes y permitirán calcular estas teorías cohomológicas. [CGG] Graciela Carboni, Jorge A. Guccione, and Juan J. Guccione, Cyclic homology of Hopf crossed products, Adv. Math. 223 (2010), no. 3, 840–872